Question

已知雙曲線的一條漸近線方程為，O為坐標原點，點在雙曲線上．
（1）求雙曲線方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P、Q兩點，以弦PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O．證明：為定值，并求|OP|²+|OQ|²的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線的一條漸近線方程為，設(shè)雙曲線方程為（y+）（y-）=λ，λ≠0，由點在雙曲線上，能求出雙曲線方程．
（2）由直線l與雙曲線交于P、Q兩點，以弦PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O，知OP⊥OQ，設(shè)直線OP的方程為y=kx，（k≠0），代入中，得，由此能夠證明為定值，并能求出|OP|²+|OQ|²的最小值．
解答：解：（1）∵雙曲線的一條漸近線方程為，
∴設(shè)雙曲線方程為（y+）（y-）=λ，λ≠0
即y²-3x²=λ，
∵O為坐標原點，點在雙曲線上，
∴（）²-3（-）²=λ，解得λ=-12，
∴雙曲線方程為y²-3x²=-12，即．
（2）∵直線l與雙曲線交于P、Q兩點，以弦PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O，
∴OP⊥OQ，
設(shè)直線OP的方程為y=kx，（k≠0）
代入中，得，
∴|OP|²=x²+y²=，
同理，得|OQ|²==•+==，
設(shè)|OP|²+|OQ|²=t，則t（）=2+≥2+2=4，
∴t≥=24，即（|OP|²+|OQ|²）_min=24，
當(dāng)且僅當(dāng)|OP|=|OQ|=2時，取等號．
點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查定值的證明和最小值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．