Question

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，對于所有n屬于正整數(shù)，S_n+1=2S_n+1．
（1）求a_n的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

n

an

，T_n為數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和，證明：對所有n屬于正整數(shù)，T_n＜4．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用S_n+1=2S_n+1再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）求出b_n，運(yùn)用錯(cuò)位相減法，先寫出T_n，再兩邊同乘以

1

2

，兩式相減，運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，即可得到數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和，進(jìn)而得證．

解答： （1）解：∵S_n+1=2S_n+1，
∴n≥2時(shí)，S_n=2S_n-1+1
兩式相減可得，a_n+1=2a_n，
∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1；
（2）證明：b_n=

n

an

=n•（

1

2

）^n-1，
則T_n=1•（

1

2

）⁰+2•

1

2

+3•（

1

2

）²+…+n•（

1

2

）^n-1，①

1

2

T_n=1•

1

2

+2•（

1

2

）²+3•（

1

2

）³+…+（n-1）•（

1

2

）^n-1+n•（

1

2

）ⁿ．②
①-②，得，

1

2

T_n=1+

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）^n-1-n•（

1

2

）ⁿ
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•（

1

2

）ⁿ．
則T_n=4-（2n+4）•（

1

2

）ⁿ＜4．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的判定與通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．