Question

7個人按下列要求并排站成一排，分別有多少種不同的站法？

（1）甲不站在正中間，也不站在兩端；

（2）甲、乙兩人相鄰；

（3）甲、乙之間相隔2人；

（4）甲站在乙的右邊；

（5）甲、乙都與丙不相鄰.

（6）若7個人站成兩排，第一排3人，第二排4人，共有多少種站法？

（7）若7個人站成一個圓環(huán)，有多少種站法？

Answer 1

分析：（1）的限制條件甲不站在正中間與兩端，意思是說甲只能站在余下的4個位置，因此可以先在這4個位置上排上甲而后再排其他人員，或者先從其余六人中選出三人排在正中間和兩端.

（2）由于甲、乙兩人相鄰，因此可把甲、乙兩人合看作一個元素（捆綁法）參加全排列，但不要忘記甲、乙兩人的局部排列問題.

（3）可以先從其余五人中選兩人站在甲、乙之間，然后將此二人連同甲、乙四人看作一個元素（捆綁法）參加全排列，同樣甲、乙之間也要進行全排列；還可以運用“數數法”將甲、乙站的位置確定出來，即甲、乙只能在1與4，2與5，3與6，4與7這四種位置上.

（4）甲不是站在乙的右邊，就是站在乙的左邊，兩者必居其一，因此可以用“調序法”求解，或先按題目的要求從七個位置中選兩個將甲、乙排好，然后再排其余人員.

（5）本題可分成甲、乙相鄰但不與丙相鄰及甲、乙不相鄰且都不與丙相鄰兩類進行研究.

（6）把元素排成幾排的問題，可化歸為一排考慮，再在一排中分段處理.

（7）7人站成一個圓環(huán)，剪開排成一排，對應7個排列.故環(huán)狀排列問題用剪斷直排法處理.

（1）解法一：先讓甲站在余下的四個位置中的任一位置上，有C種，再讓余下的6人站在其他位置上，有A種不同站法，根據分步計數原理，共有N=C·A=2 880種不同站法.

解法二：甲不站正中間也不站在兩端，可先從其余6人中任選3人站在這3個位置上（占位法），有A種站法，再讓剩下的4人（含甲）站在其他4個位置上，有A種站法，根據分步乘法計數原理，知共有N=A·A=2 880種不同站法.

解法三：先讓甲以外的6人站成一排，有A種站法，再讓甲插入這6個人之間的4個空檔位置（不插在正中間），有A種方法.故共有N=A·A=2 880種不同的站法.

解法四：整體排異法.無限制條件的7人并排站成一排，有A種站法，去掉甲站在正中間及兩端的情況，共有AA種，故共有N=A-AA=2 880種不同站法.

（2）解法一：捆綁法.先把甲、乙兩人合在一起看作一個元素，參加全排列共有A種站法，然后甲、乙兩人局部排列，共有A種站法，根據分步乘法計數原理，共有N=A·A=1 440種不同站法.

解法二：插空法.先讓甲、乙以外的5個人站隊，有A種站法，再把甲、乙兩人合在一起作為一個元素插入5個人形成的6個空檔中，有A種站法，最后甲、乙兩人局部排列，有A種站法，根據分步乘法計數原理，共有N=AAA=1 440種不同站法.

（3）解法一：捆綁法.先從甲、乙以外的5人中任選2人站在甲、乙之間，有A種站法，再將甲、乙及中間二人共4人看作一個整體參加全排列，有A種站法，最后甲、乙進行局部排列，有A種站法.根據分步乘法計數原理，知共有N=A·A·A=960種不同站法.

解法二：數數法與插空法相結合.先讓甲、乙以外的5人站隊，有A種站法，再在5人形成的6個空檔中的1與4，2與5，3與6，4與7的位置上排上甲、乙，共有4A種站法，根據分步乘法計數原理，有N=A·4A=960種不同站法.

（4）解法一：組合法——順序一定用組合.先在7個位置中選2個位置排上甲、乙（甲在乙的右邊——順序一定問題），有C種站法，再在余下的5個位置上站其余5人，有A種站法，根據分步乘法計數原理，知共有N=C·A=2 520種.

解法二：調序法.甲在乙的右邊與甲在乙的左邊的情況是一一對應的，因此，甲在乙的右邊的站法是7人任意站法的一半.故共有N=A=2 520種.

（5）解法一：直接法.分類求解.將問題分成甲與乙相鄰但不與丙相鄰及甲、乙、丙互不相鄰兩類研究.第一類情況可先讓其余4人站隊，有A種站法，他們之間形成5個空檔，再把甲、乙兩人看作一個整體與丙共兩個元素插入5個空檔，有A種站法，最后甲、乙兩人進行局部排列，有A種站法，故這類情況有A·A·A種不同站法；第二類情況也可先讓其余4人站隊，有A種方法，再把甲、乙、丙3人插入5個空檔，共有A種方法，因此這類情況有A·A種，根據分類加法計數原理，知共有N=A·A·A+A·A=2 400種不同站法.

解法二：間接法.整體排異，7個人排成一排，有A種方法.甲、乙都與丙相鄰的站法，即丙站在甲、乙中間的站法共有A·A種；甲與丙相鄰或乙與丙相鄰的站法均為A·A種.但甲、丙相鄰與乙、丙相鄰的站法中都包括了丙站在甲、乙中間，故根據分類計數原理和整體排異策略知，共有N=A-2A·A+A·A=2 400種不同方法.

（6）A=5 040種不同站法.

（7）=720種不同的站法.

綠色通道:“在”與“不在”，“相鄰”與“不相鄰”或“相間”，是常見的有限制條件的排列問題.“在”一般用“直接法”求解，“不在”可用“間接法”；“相鄰”問題一般用“捆綁法”，“不相鄰”問題用“插空法”；“順序一定”可用“調序法”或“組合法”.一般來說，解排列、組合應用題除了上述方法外，有時還用“占位法”或“數數法”，更多情況下需要對問題進行恰當的分類或分步.分類時要注意“類與類”之間的并列性和獨立性、完整性；分步時要注意“步與步”之間的連續(xù)性和獨立性、依賴性，做到不重不漏.