已知矩形ABCD所在平面外一點P,PA⊥平面ABCD,E、F分別是 AB、PC的中點.
(1) 求證:EF∥平面PAD;
(2) 求證:EF⊥CD;
(3) 若∠PDA=45°,求EF與平面ABCD所成的角的大小.
(1)見解析 (2) 見解析(3)略
【解析】本題考查的知識點是二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì),其中(1),(2)的關鍵是熟練掌握空間中直線與平面平行、垂直的判定定理及性質(zhì)定理,(3)線面角的求解.
(1)取PO中點H,連FH,AH,由三角形中位線定理,及E為AB中點,可得AEFH為平行四邊形,從而EF∥AH,再由線面平行的判定定理得到EF∥平面PAD;
(2)由已知中矩形ABCD所在平面外一點P,PA⊥平面ABCD,我們可得PA⊥CD,CD⊥AD,由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD,進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥AH,結(jié)合AH∥EF得到EF⊥CD;
(3)結(jié)合(2)中CD⊥平面PAD,我們由線面垂直的第二判定定理可得BA⊥平面PAD,則∠HAD即為二面角F-AB-C的平面角,解三角形HAD即可得到二面角F-AB-C的度數(shù).
解:(1)證明:取PD中點H,連FH,AH
則FH平行且等于CD,又CD平行且等于AB,E為AB中點,∴FH平行且等于AE
∴AEFH為平行四邊形,從而EF∥AH,
又EF⊄平面PAD,AH⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD
(2)證明:∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥CD,又CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD,又AH⊂平面PAD,∴CD⊥AH,而AH∥EF,∴CD⊥EF.
(3)由∠PDA=45°,求EF與平面ABCD所成的角的大小可以解得。
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