Question

已知點P（a，a）（a為常數(shù)），點Q（

2

，

2

），若點R在函數(shù)f（x）=

2

x

（x＞0）圖象上移動時不等式|PR|≥|PQ|恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、a≥2

  2

• B、a≤2

  2

• C、-2

  2

  ≤a≤2

  2

• D、a≤-2

  2

  或a≥2

  2

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：依題意知，點P（a，a）（a為常數(shù)），點Q（

2

，

2

）均為直線y=x上的點，作出圖形，易知a＜

2

時，不等式|PR|≥|PQ|恒成立；當a≥

2

時，設R（x，

2

x

），
通過構造函數(shù)g（t）=t²-2at+4

2

a-8=（t-a）²+4

2

a-8-a²（t≥2

2

），其對稱軸方程為t=a，利用二次函數(shù)的單調性質分類討論，來解決函數(shù)恒成立問題即可．

解答： 解：∵點P（a，a）（a為常數(shù)），點Q（

2

，

2

）均為直線y=x上的點，點R在函數(shù)f（x）=

2

x

（x＞0）圖象上移動，
作圖如下：

由圖可知，當點P在射線QM（紅線）上移動，即a＜

2

時，不等式|PR|≥|PQ|恒成立；
當a≥

2

時，設R（x，

2

x

），
則|PR|=

(x-a)2+( 2 x -a)2

，又|PQ|=|PO|-|OQ|=

2

a-

( 2 )2+( 2 )2

=

2

a-2＞0，
∴不等式|PR|≥|PQ|恒成立?

(x-a)2+( 2 x -a)2

≥

2

a-2恒成立?（x-a）²+(

2

x

-a)2≥2a²-4

2

a+4恒成立；
整理得：(x+

2

x

)2-2a（x+

2

x

）+4

2

a-8≥0恒成立；
令t=x+

2

x

，則t≥2

2

，
構造函數(shù)g（t）=t²-2at+4

2

a-8=（t-a）²+4

2

a-8-a²（t≥2

2

），
若

2

≤a≤2

2

，y=g（t）在[2

2

，+∞）上單調遞增，
要使g（t）=（t-a）²+4

2

a-8-a²≥0恒成立，只需g（t）_min=g（2

2

）=(2

2

)2-2×2

2

a+4

2

a-8=0≥0成立，顯然成立，
∴

2

≤a≤2

2

；
若a＞2

2

，同理可得，t=a時y=g（t）取得最小值，即g（t）_min=g（a）=4

2

a-8-a²=-(a-2

2

)2＜0，不合題意；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a≤2

2

；
故選：B．

點評：本題考查函數(shù)的圖象與性質的綜合應用，著重考查函數(shù)恒成立問題，突出等價轉化思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想的綜合運用，屬于難題．