已知點P(a,a)(a為常數(shù)),點Q(
2
,
2
),若點R在函數(shù)f(x)=
2
x
(x>0)圖象上移動時不等式|PR|≥|PQ|恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A、a≥2
2
B、a≤2
2
C、-2
2
≤a≤2
2
D、a≤-2
2
或a≥2
2
考點:函數(shù)恒成立問題
專題:函數(shù)的性質及應用
分析:依題意知,點P(a,a)(a為常數(shù)),點Q(
2
2
)均為直線y=x上的點,作出圖形,易知a<
2
時,不等式|PR|≥|PQ|恒成立;當a≥
2
時,設R(x,
2
x
),
通過構造函數(shù)g(t)=t2-2at+4
2
a-8=(t-a)2+4
2
a-8-a2(t≥2
2
),其對稱軸方程為t=a,利用二次函數(shù)的單調性質分類討論,來解決函數(shù)恒成立問題即可.
解答: 解:∵點P(a,a)(a為常數(shù)),點Q(
2
,
2
)均為直線y=x上的點,點R在函數(shù)f(x)=
2
x
(x>0)圖象上移動,
作圖如下:

由圖可知,當點P在射線QM(紅線)上移動,即a<
2
時,不等式|PR|≥|PQ|恒成立;
當a≥
2
時,設R(x,
2
x
),
則|PR|=
(x-a)2+(
2
x
-a)2
,又|PQ|=|PO|-|OQ|=
2
a-
(
2
)2+(
2
)2
=
2
a-2>0,
∴不等式|PR|≥|PQ|恒成立?
(x-a)2+(
2
x
-a)
2
2
a-2恒成立?(x-a)2+(
2
x
-a)2
≥2a2-4
2
a+4恒成立;
整理得:(x+
2
x
)2
-2a(x+
2
x
)+4
2
a-8≥0恒成立;
令t=x+
2
x
,則t≥2
2
,
構造函數(shù)g(t)=t2-2at+4
2
a-8=(t-a)2+4
2
a-8-a2(t≥2
2
),
2
≤a≤2
2
,y=g(t)在[2
2
,+∞)上單調遞增,
要使g(t)=(t-a)2+4
2
a-8-a2≥0恒成立,只需g(t)min=g(2
2
)=(2
2
)2
-2×2
2
a+4
2
a-8=0≥0成立,顯然成立,
2
≤a≤2
2
;
若a>2
2
,同理可得,t=a時y=g(t)取得最小值,即g(t)min=g(a)=4
2
a-8-a2=-(a-2
2
)2
<0,不合題意;
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是a≤2
2
;
故選:B.
點評:本題考查函數(shù)的圖象與性質的綜合應用,著重考查函數(shù)恒成立問題,突出等價轉化思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想的綜合運用,屬于難題.
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a12
a4
( 。
A、2
B、
1
2
C、2或
1
2
D、-2 或-
1
2

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