Question

設(shè)S_n是正項數(shù)列B的前n項和，．
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）已知，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由．
當(dāng)n=1時，，又a₁＞0，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時，，
∴，
∴，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1
則數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n．
（Ⅱ）∵，
∴①
又因為②
①-②得：
=
=
=
所以．
分析：（Ⅰ）由給出的數(shù)列的遞推式，取n=1時，求出a₁，取n=n-1寫出第二個遞推式，兩式相減后整理，得到a_n-a_n-1=1，即可證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的{a_n}的通項公式代入b_n，然后利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列，求其前n項和，一般是借助于錯位相減法，此題是中檔題．