【題目】已知等比數(shù)列的首項
,數(shù)列
前
項和記為
,前
項積記為
.
(1) 若,求等比數(shù)列
的公比
;
(2) 在(1)的條件下,判斷與
的大�。徊⑶�
為何值時,
取得最大值;
(3) 在(1)的條件下,證明:若數(shù)列中的任意相鄰三項按從小到大排列,則總可以使其成等差數(shù)列;若所有這些等差數(shù)列的公差按從小到大的順序依次記為
,則數(shù)列
為等比數(shù)列.
【答案】(1);(2)
,當(dāng)
時,
最大;(3)證明見解析.
【解析】
(1),求
和通項公式;
(2)根據(jù)定義可知,然后根據(jù)公式
求
,即
時
的最大值,再根據(jù)
,判斷
的最大值;
(3)由(1)可知當(dāng)為奇數(shù)時,
中的任意相鄰三項由小到大排列是
,若成等差數(shù)列,可求
是否成立,并求公差,當(dāng)
是偶數(shù)時,設(shè)
中的任意相鄰三項按從小到大排列為
,判斷是否成等差數(shù)列,并求公差,并按定義判斷數(shù)列
是否為等比數(shù)列
(1) ,解得
,
;
(2).又
,
當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
.
當(dāng)
時,
取得最大值,
又,∴
的最大值是
和
中的較大者,
又,
.因此當(dāng)
時,
最大.
(3),
隨
增大而減小,
奇數(shù)項均正,偶數(shù)項均負(fù),
①當(dāng)是奇數(shù)時,設(shè)
中的任意相鄰三項按從小到大排列為
,
則,
,
,因此
成等差數(shù)列,
公差;
②當(dāng)是偶數(shù)時,設(shè)
中的任意相鄰三項按從小到大排列為
,
則,
.
∴,因此
成等差數(shù)列,
公差,
綜上可知,中的任意相鄰三項按從小到大排列,總可以使其成等差數(shù)列,
且, ∵
,∴數(shù)列
為等比數(shù)列.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】田忌賽馬是《史記》中記載的一個故事,說的是齊國大將軍田忌經(jīng)常與齊國眾公子賽馬,孫臏發(fā)現(xiàn)田忌的馬和其他人的馬相差并不遠(yuǎn),都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻(xiàn)策:比賽即將開始時,他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設(shè)田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進行一場比賽,田忌獲勝的概率如下表所示:
比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場賽馬組成,每場由公子和田忌各出一匹馬參賽,結(jié)果只有勝和負(fù)兩種,并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同,三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.
(1)如果按孫臏的策略比賽一次,求田忌獲勝的概率;
(2)如果比賽約定,只能同等級馬對戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線焦點為
,
為拋物線上在第一象限內(nèi)一點,
為原點,
面積為
.
(1)求拋物線方程;
(2)過點作兩條直線分別交拋物線于異于點
的兩點
,
,且兩直線斜率之和為
,
(i)若為常數(shù),求證直線
過定點
;
(ii)當(dāng)改變時,求(i)中距離
最近的點
的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠SAD =∠DAB= ,SA=3,SB=5,
,
,
.
(1)求證:AB平面SAD;
(2)求平面SCD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值;
(3)點E,F分別為線段BC,SB上的一點,若平面AEF//平面SCD,求三棱錐B-AEF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試,每位同學(xué)彼此獨立的從四所高校中選2所.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率;
(Ⅱ)若已知甲同學(xué)特別喜歡高校,他必選
校,另在
三校中再隨機選1所;而同學(xué)乙和丙對四所高校沒有偏愛,因此他們每人在四所高校中隨機選2所.
(�。┣蠹淄瑢W(xué)選高校且乙、丙都未選
高校的概率;
(ⅱ)記為甲、乙、丙三名同學(xué)中選
校的人數(shù),求隨機變量
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知矩形,
,
,將
沿對角線
進行翻折,得到三棱錐
,則在翻折的過程中,有下列結(jié)論正確的有_____.
①三棱錐的體積的最大值為
;
②三棱錐的外接球體積不變;
③三棱錐的體積最大值時,二面角
的大小是60°;
④異面直線與
所成角的最大值為90°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知圓
與直線
相切,點A為圓
上一動點,
軸于點N,且動點滿足
,設(shè)動點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)P,Q是曲線C上兩動點,線段的中點為T,
,
的斜率分別為
,且
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式
恒成立,求整數(shù)
的最小值;
(3)若正實數(shù)滿足
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,
底面
,
.點
、
、
分別為棱
、
、
的中點,
是線段
的中點,
,
.
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知點在棱
上,且直線
與直線
所成角的余弦值為
,求線段
的長.
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