設函數(shù)f（x）=sinx（1+
1
cosx
）
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在其定義域上的單調性；
（Ⅱ）證明：
sinx
x
（1+
1
cosx
）＞2（0＜x＜
π
2
）．
考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,三角函數(shù)的化簡求值,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調性
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（I）函數(shù)f（x）=sinx（1+
1
cosx
）=sinx+
sinx
cosx
，其定義域為{x|x≠kπ+
π
2
，k∈Z}．利用導數(shù)的運算法則可得f′（x）=
cos3x+1
cos2x
≥0，即可得出f（x）的單調區(qū)間；
（II）
sinx
x
（1+
1
cosx
）＞2（0＜x＜
π
2
）?sinx（1+
1
cosx
）-2x＞0，x∈(0，
π
2
)．
令g（x）=sinx（1+
1
cosx
）-2x，x∈(0，
π
2
)．利用導數(shù)和均值不等式即可得出．
解答： （I）解：函數(shù)f（x）=sinx（1+
1
cosx
）=sinx+
sinx
cosx
，其定義域為{x|x≠kπ+
π
2
，k∈Z}．
f′（x）=cosx+
cos2x+sin2x
cos2x
=
cos3x+1
cos2x
≥0，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是(kπ-
π
2
，kπ+
π
2
)（k∈Z）．
（II）證明：
sinx
x
（1+
1
cosx
）＞2（0＜x＜
π
2
）?sinx（1+
1
cosx
）-2x＞0，x∈(0，
π
2
)．
令g（x）=sinx（1+
1
cosx
）-2x，x∈(0，
π
2
)．
g′（x）=
cos3x+1
cos2x
-2=
cosx
2
+
cosx
2
+
1
cos2x
-2＞3
3
cosx
2
•
cosx
2
•
1
cos2x
-2=
3
32
-2
2
＞0，
∴函數(shù)g（x）在(0，
π
2
)上單調遞增，且在x=0處連續(xù)．
∴g（x）＞g（0）=0．
∴sinx（1+
1
cosx
）-2x＞0，x∈(0，
π
2
)．
即
sinx
x
（1+
1
cosx
）＞2（0＜x＜
π
2
）．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、三角函數(shù)的單調性、均值不等式，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
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定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x∈（-∞，0]時，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），則滿足F（3）＞F（2x-1）的解集為？

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在平面四邊形ABCD中，記
AB
=
a
，
BC
=
b
，
CD
=
c
，
DA
=
d
，證明：若
a
•
b
=
b
•
c
=
c
•
d
=
d
•
a
，則四邊形ABCD是矩形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

化簡：
（1）（a-b）（a+b）3-2ab（a2-b2）
（2）（a+b）（a2-ab+b2）-（a+b）3
（3）（a+4b-3c）2
（4）（a+4b-3c）（a-4b-3c）

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2014年5月，我省南昌市遭受連日大暴雨天氣．某網站就“民眾是否支持加大修建城市地下排水設施的資金投入”進行投票．按照南昌暴雨前后兩個時間收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得統(tǒng)計結果如下表：
支持 不支持 總計
南昌暴雨后 x y 50
南昌暴雨前 20 30 50
總計 A B 100
已知工作人員從所有投票中任取一個，取到“不支持投入”的投票的概率為
2
5
．
（1）求列表中數(shù)據x，y，A，B的值；
（2）能夠有多大把握認為南昌暴雨對民眾是否贊成加大對修建城市地下排水設施的投入有關系？附：x2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．

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拋一個骰子兩次，點數(shù)分別為x、y．
（1）求
x+y
4
為整數(shù)的概率；
（2）求log2xy=1的概率．

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已知冪函數(shù)y=x（m-6）（m∈Z）與y=x（2-m）（m∈Z）的圖象與x軸、y軸都無公共點，且y=x（m-2）（m∈Z）的圖象關于y軸對稱，求m的值．

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函數(shù)y=cos3x-sin2x-5cosx，x∈R的值域為
 
．

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已知函數(shù)f（x）=sin（ωx-
π
6
）（ω＞0）的圖象與x正半軸交點的橫坐標由小到大構成一個公差為
 π 
2
的等差數(shù)列，將該函數(shù)的圖象向左平移m（m＞0）個單位后，所得圖象關于原點對稱，則m的最小值為
 
．

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