Question

如圖，已知三棱柱A₁B₁C₁－ABC的底面是邊長為2的正三角形，側棱A₁A與AB、AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F．

(1)求點A到平面B₁BCC₁的距離；

(2)當AA₁多長時，點A₁到平面ABC與平面B₁BCC₁的距離相等．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC1 　　∴BB1⊥平面A1EF 　　即面A1EF⊥面BB1C1C 　　在Rt△A1EB1中， 　　∵∠A1B1E＝45°，A1B1＝a 　　∴A1E＝a，同理A1F＝a，又EF＝a，∴A1E＝a 　　同理A1F＝a，又EF＝a 　　∴△EA1F為等腰直角三角形，∠EA1F＝90° 　　過A1作A1N⊥EF，則N為EF中點，且A1N⊥平面BCC1B1 　　即A1N為點A1到平面BCC1B1的距離 　　∴A1N＝ 　　又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距離為 　　∴a＝2，∴所求距離為2 　　(2)設BC、B1C1的中點分別為D、D1，連結AD、DD1和A1D1，則DD1必過點N，易證ADD1A1為平行四邊形． 　　∵B1C1⊥D1D，B1C1⊥A1N 　　∴B1C1⊥平面ADD1A1 　　∴BC⊥平面ADD1A1 　　得平面ABC⊥平面ADD1A1，過A1作A1M⊥平面ABC，交AD于M， 　　若A1M＝A1N，又∠A1AM＝∠A1D1N，∠AMA1＝∠A1ND1＝90° 　　∴△AMA1≌△A1ND1，∴AA1＝A1D1＝，即當AA1＝時滿足條件