已知函數(shù)f（x）=
mx2+2
3x-n
是奇函數(shù)，且f（2）=
5
3

（1）求實(shí)數(shù)m，n的值；
（2）判斷f（x）在（-∞，-1）的單調(diào)性，并加以證明．
分析：（1）由題意可得f（-x）=-f（x），代入可求n，由f（2）=
5
3
可求m
（2）由（1）可求f（x），然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明
解答：（1）解：因?yàn)閒（x）奇函數(shù)．所以有f（-x）=-f（x）
∴
mx2+2
-3x-n
=-
mx2+2
3x-n

∴3x+n=3x-n
∴n=0
∵f(2)=
4m+2
6
=
5
3

∴m=2
∴m=2  n=0
（2）f（x）=
2x2+2
3x
=
2
3
(x+
1
x
)在（-∞，-1）上為增函數(shù)．
證明：設(shè)x1，x2∈（-∞，-1）且x1＜x2
則f（x1）-f（x2）=
2
3
(x1+
1
x1
-x2-
1
x2
)
=
2
3
[(x1-x2)+
1
x1
-
1
x2
)]
=
2(x1-x2)(x1x2-1) 
3x1x2

∵x1＜x2＜-1
∴x1x2＞1，x1-x2＜0
∴
2
3
(x1-x2)(
x1x2-1
x1x2
)＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x）在（-∞，-1）的單調(diào)增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，函數(shù)單調(diào)性定義在函數(shù)單調(diào)性判斷（證明）中的應(yīng)用，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=m•2x+t的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1）、B（2，3）及C（n，Sn），Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*．
（1）求Sn及an；
（2）若數(shù)列{cn}滿足cn=6nan-n，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=m（x+
1
x
）的圖象與h（x）=（x+
1
x
）+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱．
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+
a
4x
在（0，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
m
•
n
，其中
m
=(sinωx+cosωx，
3
cosωx)，
n
=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相鄰兩對(duì)稱軸間的距離不小于
π
2
．
（Ⅰ）求ω的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，a=
3
，b+c=3，當(dāng)ω最大時(shí)，f（A）=1，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

以下兩題任選一題：（若兩題都作，按第一題評(píng)分）
（一）：在極坐標(biāo)系中，圓ρ=2cosθ的圓心到直線θ=
π
3
（ρ∈R）的距離
3
2
3
2
；
（二）：已知函數(shù)f（x）=m-|x-2|，m∈R，當(dāng)不等式f（x+2）≥0的解集為[-2，2]時(shí)，實(shí)數(shù)m的值為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[-1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R+，且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m，求Z=a+2b+3c的最小值．

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