Question

下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的是（　�。�

• A、f（x）=cosx
• B、f（x）=sinx+x
• C、f（x）=x²+1
• D、f（x）=x³-3x

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義，逐一判定A、B、C、D中的函數(shù)是否滿足條件．

解答： 解：對于A，f（x）=cosx是定義域上的偶函數(shù)，∴不滿足條件；
對于B，∵f（x）=sinx+x，∴f（-x）=sin（-x）+（-x）=-（sinx+x）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)，
又f′（x）=cosx+1≥0，∴f（x）是定義域上的增函數(shù)，∴滿足條件；
對于C，f（x）=x²+1是定義域上的偶函數(shù)，∴不滿足條件；
對于D，∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，得x=±1，
∴f（x）在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，∴不滿足條件．
故選：B．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定問題，解題時應(yīng)根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義，判定選項中的函數(shù)是否滿足題意，是基礎(chǔ)題．