Question

設(shè)三次函數(shù)，在處取得極值，其圖像在處的切線(xiàn)的斜率為。

（1）求證：；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（3）問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)（是與無(wú)關(guān)的常數(shù)），當(dāng)時(shí)，恒有恒成立？若存在，試求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解析：（1），由題設(shè)，得     ①

    ②

∵

由①代入②得

得    ③

將代入中，得    ④

由③.④得；      …………5分

（1）       由（1）知， 

∴方程的判別式有兩個(gè)不等實(shí)根，

又，∴

∴當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

∴函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，∴，

由知。

∵函數(shù)在區(qū)間[s，t]上單調(diào)遞增，∴[s，t]，

∴，即的取值范圍是，    …………10分

（2）       由，即

∵，令，

要使在上恒成立，

只需   即  ，∴或

由題意，得

∴存在實(shí)數(shù)k滿(mǎn)足條件，即k的最小值為。     …………14分