Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=2，前n項(xiàng)s_n，且滿足（a_n-1）n²+n-s_n=0
（1）證明數(shù)列{

n+1

n

s_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)b_n=

an

n2+n+2

，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為Tⁿ，求證：Tⁿ＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式求得數(shù)列首項(xiàng)，結(jié)合a_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列{

n+1

n

s_n}是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到S_n，再由a_n=S_n-S_n-1求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把an=

2

n

-

2

n+1

+1代入b_n=

an

n2+n+2

，整理后利用裂項(xiàng)相消法求Tⁿ，則答案可證．

解答： 解：（1）由（a_n-1）n²+n-s_n=0，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，(Sn-Sn-1-1)n2+n-Sn=0，
(n2-1)Sn-n2Sn-1=n2-n，
（n+1）（n-1）Sn-n2Sn-1=n（n-1），
等式兩邊同除以n（n-1），得

n+1

n

s_n-

n

n-1

Sn-1=1為定值．
又

2

1

S1=2S1=2×2=4，
∴數(shù)列{

n+1

n

s_n}是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．

n+1

n

S_n=4+1×（n-1）=n+3．
Sn=

n(n+3)

n+1

=

n(n+1+2)

n+1

=

n(n+1)+2n

n+1

=

n(n+1)+2(n+1)-2

n+1

=n+2-

2

n+1

．
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

2

n

-

2

n+1

+1．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2滿足上述通項(xiàng)公式．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

2

n

-

2

n+1

+1；
（2）an=

2

n

-

2

n+1

+1；
b_n=

an

n2+n+2

=

2 n - 2 n+1 +1

n2+n+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴Tⁿ=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了數(shù)列不等式的證法，是中檔題．