【題目】已知函數(shù)
.
(1)當時,求曲線
在點
處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的單調區(qū)間;
(3)求證:若函數(shù)在
處取得極值,則對
恒成立.
【答案】(1);(2)當
時,
單調減區(qū)間
,無增區(qū)間;當
時,
單調增區(qū)間
,單調減區(qū)間
;(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)求出,,求出
的值可得切點坐標,求出
的值,可得切線斜率,利用點斜式可得曲線
在點
處的切線方程;(2)分四種情況討論
的范圍,在定義域內,分別令
求得
的范圍,可得函數(shù)
增區(qū)間,
求得
的范圍,可得函數(shù)
的減區(qū)間;(3)由
,計算得出
,取經檢驗滿足條件,
,則
,令
利用導數(shù)求出
的最小值即可得結果.
試題解析:(1)因為,當
時,
,
當,
,
所以曲線在點
處的切線方程
.
(2)因為在,
,
當時,
在
上單調遞減.
當時,
.
當時,
,
單調遞減;
當時,
,
單調遞增;
綜上所述,當時,
單調減區(qū)間
,無增區(qū)間.
當時,
單調增區(qū)間
,單調減區(qū)間
.
(3)因為函數(shù)在
處取得極值,所以
計算得出,取經檢驗滿足條件.
由已知,則
,
令
易得在區(qū)間
上遞減,在區(qū)間
上遞增,
所以即
,
所以若函數(shù)在
處取得極值,對
恒成立.
【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線方程以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及不等式恒成立問題,屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出在
處的導數(shù),即
在點
出的切線斜率(當曲線
在
處的切線與
軸平行時,在 處導數(shù)不存在,切線方程為
);(2)由點斜式求得切線方程
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】三棱錐及其側視圖、俯視圖如圖所示.設
,
分別為線段
,
的中點,
為線段
上的點,且
.
(1)證明: 為線段
的中點;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓.
(1)求圓心C的坐標及半徑r的大小;
(2)已知不過原點的直線l與圓C相切,且在x軸、y軸上的截距相等,求直線l的方程;
(3)從圓外一點向圓引一條切線,切點為M,O為坐標原點,且
,求點P的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了測量某塔的高度,某人在一條水平公路兩點進行測量.在
點測得塔底
在南偏西
,塔頂仰角為
,此人沿著南偏東
方向前進10米到
點,測得塔頂?shù)难鼋菫?/span>
,則塔的高度為( )
A. 5米B. 10米C. 15米D. 20米
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【題目】扎比瓦卡是2018年俄羅斯世界杯足球賽吉祥物,該吉祥物以西伯利亞平原狼為藍本.扎比瓦卡,俄語意為“進球者”.某廠生產“扎比瓦卡”的固定成本為15000元,每生產一件“扎比瓦卡”需要增加投入20元,根據(jù)初步測算,每個銷售價格滿足函數(shù),其中x是“扎比瓦卡”的月產量(每月全部售完).
(1)將利潤表示為月產量
的函數(shù);
(2)當月產量為何值時,該廠所獲利潤最大?最大利潤是多少?(總收益=總成本+利潤).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x)+a的最大值為2.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)在給定的直角坐標系上作出函數(shù)f(x)在[0,π]上的圖象:
(3)求函數(shù)f(x)在[,
]上的零點,
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【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為
,離心率為
,過
的直線
與橢圓
交于
兩點,且
的周長為8.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過點
,且與橢圓
交于
兩點,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明家的晚報在下午任何一個時間隨機地被送到,他們一家人在下午
任何一個時間隨機地開始晚餐.為了計算晚報在晚餐開始之前被送到的概率,某小組借助隨機數(shù)表的模擬方法來計算概率,他們的具體做法是將每個1分鐘的時間段看作個體進行編號,
編號為01,
編號為02,依此類推,
編號為90.在隨機數(shù)表中每次選取一個四位數(shù),前兩位表示晚報時間,后兩位表示晚餐時間,如果讀取的四位數(shù)表示的晚報晚餐時間有一個不符合實際意義,視為這次讀取的無效數(shù)據(jù)(例如下表中的第一個四位數(shù)6548中的65不符合晚報時間).按照從左向右,讀完第一行,再從左向右讀第二行的順序,讀完下表,用頻率估計晚報在晚餐開始之前被送到的概率為( )
6548 1176 7417 4685 0950 5804 7769 7473 0395 7186 |
8012 4356 3517 7270 8015 4531 8223 7421 1157 8263 |
A.B.
C.
D.
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