Question

已知向量，，且函數．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥0 在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，求實數 k的取值范圍；
（II）若k∈R，記函數，試探析函數g（x）的定義域．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵=x（x+3）-k（x+3）=（x+3）（x-k），不等式f（x）≥0 在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
∴（x+3）（x-k）≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，∴k≤1．
（II）∵函數=，
∴（x+3）（x-k）≥0．
當k＞-3時，可得函數g（x）的定義域為 {x|-3≤x≤k}；
當k＜-3時，可得函數g（x）的定義域為 {x|k≤x≤-3}；
當k=-3時，（x+3）（x-k）=（x+3）²≥0 恒成立，故定義域為R．
分析：（Ⅰ）利用兩個向量的數量積公式求得f（x）=（x+3）（x-k），由（x+3）（x-k）≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，可得k的取值范圍．
（II）由函數=，可得（x+3）（x-k）≥0，分k＞-3、k＜-3、k=-3三種情況，分別求出不等式的解集，即可求出函數g（x）的定義域．
點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，一元二次不等式的解法，函數的恒成立問題，求函數的定義域，屬于中檔題．