Question

已知函數(shù)f（x）=3sin

x

4

cos

x

4

+

3

sin²

x

4

-

3

2

+m，若對(duì)于任意的-

π

3

≤x≤

2π

3

有f（x）≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A、m≥

  3

  2

• B、m≥-

  3

  2

• C、m≥-

  3

  2

• D、m≥

  3

  2

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=

3

sin（

x

2

-

π

6

）+m，由-

π

3

≤x≤

2π

3

，求得函數(shù)f（x）取得最小值為-

3

2

+m≥0，從而求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=3sin

x

4

cos

x

4

+

3

sin²

x

4

-

3

2

+m=

3

2

sin

x

2

+

3

•

1-cos x 2

2

-

3

2

+m=

3

sin（

x

2

-

π

6

）+m，
對(duì)于任意的-

π

3

≤x≤

2π

3

有f（x）≥0恒成立，則f（x）在[-

π

3

，

2π

3

]上的最小值大于或等于零．
由-

π

3

≤x≤

2π

3

，可得-

π

3

≤

x

2

-

π

6

≤

π

6

，故當(dāng)

x

2

-

π

6

=-

π

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-

3

2

+m≥0，
求得m≥

3

2

，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，正弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．