Question

設(shè)f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ（m、n∈N），若其展開式中，關(guān)于x的一次項系數(shù)為11，試問：m、n取何值時，f（x）的展開式中含x²項的系數(shù)取最小值，并求出這個最小值．

Answer 1

考點：二項式定理的應(yīng)用

專題：計算題,二項式定理

分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式中含x的一次項系數(shù)和，列出方程求出m，n的關(guān)系；利用二項展開式的通項公式求出含x²項的系數(shù)，通過等量代換轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值，求出二次函數(shù)的最值．

解答： 解：由題意知C_m¹+C_n¹=11，即m+n=11，
又展開式中含x²項的系數(shù)

C

2 m

+

C

2 n

=

1

2

[m（m-1）+n（n-1）]=n²-11n+55=（n-

11

2

）²+

99

4

，
∴當n=5或n=6時，含x²項的系數(shù)最小，最小值為25．
此時n=5，m=6；或m=5，n=6．

點評：本題考查二項展開式的通項公式的應(yīng)用、等量代換、二次函數(shù)的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題．