Question

已知f（x）=

2

x2

，
（1）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并證明；
（2）若

2

x

＜ax在[1，+∞） 上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義即可證明；
（2）因?yàn)?span id="ekigwua" class="MathJye">

2

x

＜ax在[1，+∞） 上恒成立?[

2

x2

]max＜a，x∈[1，+∞）．再利用（1）的單調(diào)性求出即可．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
證明如下：
任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

2

x 2 1

-

2

x 2 2

=

2 (x 2 2 -x 2 1 )

x 2 1 x 2 2

=

2(x2+x1)(x2-x1)

x12x22

=

2(x2+x1)(x2-x1)

x 2 1 x 2 2

．
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁+x₂＞0，x₂-x₁＞0，x₁²x₂²＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）

2

x

＜ax在[1，+∞） 上恒成立?[

2

x2

]max＜a，x∈[1，+∞）．
由（1）知，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最大值為f（1）=2．
∴a＞2

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握證明函數(shù)單調(diào)性的方法和對(duì)恒成立問(wèn)題正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．