Question

已知半徑為5的圓C的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線4x+3y-29=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）設直線ax-y+5=0與圓C相交于A、B兩點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設圓心M的坐標為（m，0），且m是整數，由圓C與已知直線垂直，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，進而確定出圓C的方程；
（2）由直線ax-y+5=0，表示出y，代入圓的方程消去y，得到關于x的一元二次方程，根據直線與圓有兩個交點，得到根的判別式大于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）設圓心為M（m，0）（m∈Z），
∵圓C與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為5，
∴圓心，到直線4x+3y-29=0的距離d=r，即

|4m-29|

5

=5，即|4m-29|=25，
∵m為整數，∴m=1，
則所求圓的方程為（x-1）²+y²=25；
（2）直線ax-y+5=0即y=ax+5，代入圓的方程，消去y整理得：
（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0，
∵直線ax-y+5=0交圓于A，B兩點，
∴△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，即12a²-5a＞0，
解得：a＜0或a＞

5

12

，
則實數a的取值范圍是（-∞，0）∪（

5

12

，+∞）．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，以及直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，一元二次方程根的判別式與解的關系，一元二次不等式的解法，解題的關鍵是：當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑；將直線與圓的方程聯(lián)立消去y后，得到關于x的一元二次方程，此一元二次方程的解的個數決定了直線與圓交點的個數．