Question

21世紀我國將全面實現(xiàn)小康社會，家庭理財將成為增加居民收入新亮點，某投資機構根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比，已知投資1萬元時兩類產品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元（如圖）．已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）

（1）分別寫出兩種產品的收益與投資的函數(shù)關系；
（2）若你家現(xiàn)有20萬元資金，全部用于投資理財，問：請你根據(jù)所學知識幫助你的父母來合理分配資金獲得最大收益，并計算最大收益為多少萬元？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由題意，設f（x）=kx，g（x）=a

x

，由圖可求出k，a，從而得到函數(shù)關系式；
（2）設投資債券類產品x萬元，則股票類投資為20-x萬元，則y=f（x）+g（20-x）=

1

8

x+

1

2

•

20-x

，（0≤x≤20），利用換元法求函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）設f（x）=kx，g（x）=a

x

，
由題意得，f（1）=k=

1

8

，g（1）=a=

1

2

，
則f（x）=

1

8

x，（x≥0）；g（x）=

1

2

x

，（x≥0）．
（2）設投資債券類產品x萬元，則股票類投資為20-x萬元，
由題意得，y=f（x）+g（20-x）
=

1

8

x+

1

2

•

20-x

，（0≤x≤20），
令

20-x

=t，
則y=-

1

8

（t²-20）+

1

2

t=-

1

8

（t-2）²+3，
故當t=2，即x=16萬元時，收益最大，
此時，y_max=3萬元．

點評：本題考查了學生將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力及函數(shù)的最值及解析式的求法，屬于中檔題．