Question

已知f(x2-5)=loga

x2

10-x2

(a＞0，且a≠1)．
（1）求f（x）的解析式，并寫(xiě)出定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，求使f（x）≥0成立的x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）通過(guò)令x²-5=t，求出x，將t與x代入已知表達(dá)式，求出f（x）通過(guò)已知條件求出函數(shù)的定義域．
（2）通過(guò)（1）函數(shù)的表達(dá)式，利用奇偶性的定義判斷證明即可．
（3）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將符號(hào)f脫去，直接求解二次不等式，得到不等式的解集．

解答： 解：：（1）令x²-5=t，則x²=t+5．
∴f(x2-5)=loga

x2

10-x2

化為f（t）═loga

t+5

10-t-5

=loga

t+5

5-t

．
∴f(x)=loga

x+5

5-x

，要使函數(shù)有意義，必須

x+5

5-x

＞0，解得x∈（-5，5）．
（2）∵函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(-x)=loga

-x+5

5-(-x)

=-loga

x+5

5-x

=-f（x）．
∴函數(shù)是奇函數(shù)．
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）≥0成立，
即loga

x+5

5-x

＞0
⇒loga

x+5

5-x

＞loga1，
∴

x+5

5-x

＞1
⇒

x+5

5-x

-1＞0
⇒

x+5+x-5

5-x

＞0
⇒

2x

x-5

＜0，
解得x∈[0，5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)不等式的解法，函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的定義域以及函數(shù)的奇偶性的判斷與證明，考查計(jì)算能力．