Question

（本小題滿分10分）已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求的值；

（2）討論方程解的個數(shù)，并說明理由。

Answer 1

（1），（2）當時，方程有惟一解；當時，方程無解；當時方程有兩解．

【解析】

試題分析：第一步函數(shù)在處的切線方程為，切線斜率為1，由于,則

，而，第二步由于函數(shù)定義域為，，當時，在定義域上恒大于，此時方程無解；當時，

，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，因為，，則，函數(shù)有唯一一個零點，所以方程有惟一解；當時，，

函數(shù)在上是減函數(shù)，在內(nèi)為增函數(shù)，當時，有極小值即為最小值，最后根據(jù)最小值分大于零、等于零、小于零三種情形對應(yīng)方程根的個數(shù)實施討論，給出各種情形的答案即可；

試題解析：（1）因為： ，又在處的切線方程為

所以 解得：

（2）當時，在定義域上恒大于，此時方程無解；當時，在上恒成立， 所以在定義域上為增函數(shù)。，，所以方程有惟一解。

當時，，因為當時，，在內(nèi)為減函數(shù)；當時，在內(nèi)為增函數(shù)。所以當時，有極小值即為最小值

當時，，此方程無解；

當時，此方程有惟一解。

當時，，因為且，所以方程在區(qū)間上有惟一解， 又因為當時，，所以 ，所以 ，因為 ，所以 所以 方程在區(qū)間上有惟一解。所以方程在區(qū)間上有兩解。

綜上所述：當時，方程有惟一解；當時，方程無解；當時方程有兩解。

考點：1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、函數(shù)的零點；3．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；