Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），其中（a＞0且a≠1），設(shè)h（x）=f（x）-g（x）．
（1）判斷h（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若f（3）=2，求使h（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

分析：（1）由對數(shù)的意義，確定函數(shù)h（x）的定義域，再驗證h（-x）與h（x）的關(guān)系，即可得到結(jié)論；
（2）確定函數(shù)h（x）的解析式，從而可得對數(shù)不等式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得使h（x）＞0成立的x的集合．

解答：解：（1）由題意得1+x＞0，即x＞-1，∴函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），
1-x＞0，即x＜1，∴函數(shù)g（x）的定義域為（-∞，1），
∴函數(shù)h（x）的定義域為（-1，1）．
∵對任意的x∈（-1，1），-x∈（-1，1），
h（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=g（x）-f（x）=-h（x），
∴h（x）是奇函數(shù)．           …（6分）
（2）由f（3）=2，得a=2．
此時h（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x），
由h（x）＞0即log₂（1+x）-log₂（1-x）＞0，
∴l(xiāng)og₂（1+x）＞log₂（1-x）．
由1+x＞1-x＞0，解得0＜x＜1．
故使h（x）＞0成立的x的集合是{x|0＜x＜1}． …（12分）

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查解不等式，考查對數(shù)的運算法則，屬于中檔題．