考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合
專題:計(jì)算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式
分析:(1)化簡(jiǎn)a
n=2-
,化出
的形式,(2)由a
n=s
n-s
n-1化簡(jiǎn),得到遞推公式,再推通項(xiàng)公式;(3)利用裂項(xiàng)求和法求和證明不等式成立.
解答:
解:(1)證明:∵
an=(n≥2),
∴
an-1=-1=,
∴
===+1(n≥2),
即:∴
-=1(n≥2).
∴數(shù)列
{}是以
=2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
(2)當(dāng)n≥2時(shí),
bn=Sn-Sn-1=(2+bn)-(2+bn-1),
bn=bn-bn-1⇒=bn-1,
即:
=(n≥2);
∴
×××…×=×××…×⇒=n?2n-1,
當(dāng)n=1時(shí),b
1=S
1=2,∴
bn=n?2n.
(3)證明:由(1)知:
=2+(n-1)×1=n+1∴
an-1=,
∴
cn===-,
∴
Tn=n |
![](http://thumb.zyjl.cn/pic3/images/part/8721.png) |
i=1 |
ci=(1-)+(-)+…+(-)=1-<1.
點(diǎn)評(píng):本題全面考查了數(shù)列的相關(guān)知識(shí),有等差數(shù)列的證明,也用到了通項(xiàng)與前n項(xiàng)之間的普遍關(guān)系,同時(shí)考查了裂項(xiàng)求和的方法,屬于難題.