Question

（1+x³）（1-x）¹⁰的展開式中，x⁵的系數(shù)是

-207

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，先寫出（1-x）¹⁰的展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而分析可得要在（1+x³）（1-x）¹⁰的展開式出現(xiàn)x⁵項(xiàng)，有兩種情況，①、若（1+x³）中出1，則（1-x）¹⁰中必須出x⁵項(xiàng)，②、若（1+x³）中出x³項(xiàng)，則（1-x）¹⁰中必須出x²項(xiàng)，分別每種情況下求出x⁵項(xiàng)的系數(shù)，將其相加可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，（1+x³）（1-x）¹⁰的展開式中每一項(xiàng)為（1+x³）中的一項(xiàng)與（1-x）¹⁰的展開式中一項(xiàng)的乘積，
而（1-x）¹⁰的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C₁₀^r•（-x）^r=（-1）^rC₁₀^r•x^r，
要在（1+x³）（1-x）¹⁰的展開式出現(xiàn)x⁵項(xiàng)，有兩種情況，
①、若（1+x³）中出1，則（1-x）¹⁰中必須出x⁵項(xiàng)，則此時x⁵項(xiàng)的系數(shù)為-C₁₀⁵，
②、若（1+x³）中出x³項(xiàng)，則（1-x）¹⁰中必須出x²項(xiàng)，則此時x⁵項(xiàng)的系數(shù)為C₁₀²，
則在（1+x³）（1-x）¹⁰的展開式中，x⁵的系數(shù)是-C₁₀⁵+C₁₀²=-252+45=-207；
故答案為-207．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題時要注意結(jié)合多項(xiàng)式的乘法來分析，其次要注意（1-x）¹⁰的展開式中項(xiàng)的符號．