Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），拋物線C₂：y²=2px（p＞0），從每條曲線上取兩點，將其坐標記錄于表中：

x	0	4	2	1
y	2	4	3	2

（Ⅰ）求C₁，C₂的標準方程；
（Ⅱ）四邊形ABCD的頂點在橢圓C₁上，且對角線AC，BD過原點，若k_AC•k_BD=-

2p

a2

．求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得，橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（0，2），解得b=2，

x2

a2

+

y2

4

=1，從而（4，4），（1，2）在拋物線C₂：y²=2px（p＞0）上，（

2

，

3

）在橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

4

=1上，由此能求出C₁的標準方程和C₂的標準方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設k_AC=k，則k_BD=-

1

2k

，直線AC，BD的方程為y=kx，y=-

1

2k

x，聯(lián)立

y=kx x2 8 + y2 4 =1

，

y=- 1 2k x x2 8 + y2 4 =1

，解得x1=

2 2

1+2k2

，x2=

4|k|

1+2k2

，由此能求出四邊形ABCD的面積．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得，橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（0，2），
解得b=2，∴

x2

a2

+

y2

4

=1，
∴（4，4），（1，2）在拋物線C₂：y²=2px（p＞0）上，
（

2

，

3

）在橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

4

=1上，
∴

2

a2

+

3

4

=1，解得a²=8，
4=2p，解得p=2．
∴C₁的標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1，C₂的標準方程為y²=4x．
（Ⅱ）（i）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設x₁＞0，x₂＞0，
設k_AC=k，∵k_AC•k_BD=-

2p

a2

=-

1

2

，∴k_BD=-

1

2k

，
∴直線AC，BD的方程為y=kx，y=-

1

2k

x，
聯(lián)立

y=kx x2 8 + y2 4 =1

，

y=- 1 2k x x2 8 + y2 4 =1

，
解得x1=

2 2

1+2k2

，x2=

4|k|

1+2k2

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

1

2

x1x2
=

4 2 |k|

1+2k2

≤

4 2 |k|

2 2 |k|

=2，
當且僅當|k|=

2

2

時取等號．
（ii）由橢圓的對稱性知S_{四邊形ABCD}=4S_△AOB=2|OA|•|OB|sin∠AOB，
∴S四邊形ABCD2=4[|OA|²|OB|²-（

OA

•

OB

）²]
=4[（x12+y12）（x22+y22）-（x₁x₂+y₁y₂）²]
=4（x₁y₂-x₂y₁）²
=4（-

1

2k

x1x2-kx₁x₂）²
=4（k+

1

2k

）²（

8 2 k

1+2k2

）²=168．

點評：本題考查橢圓方程和拋物線方程的求法，考查四邊形的面積的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．