Question

定義函數(shù)f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，當(dāng)x∈[0，n）（n∈N^*）時，設(shè)函數(shù)f（x）的值域為集合A，記A中的元素個數(shù)為a_n，則

an+49

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，進而得到

解答： 解：由題意：[x]=

0，x∈[0，1) 1，x∈[1，2) n-1，x∈[n-1，n)

，∴x[x]=

0，x∈[0，1) x，x∈[1，2) (n-1)x，x∈[n-1，n)

，
∴[x[x]]在各區(qū)間中的元素個數(shù)是：1，1，2，3，…，n-1
∴a_n=

n(n-1)

2

+1，
∴

an+49

n

=

1

2

（n+

100

n

-1）≥

1

2

（2×10-1）=

19

2

，當(dāng)且僅當(dāng)n=10時取等號．
故答案為：

19

2

點評：本題考查的知識點是分段函數(shù)，集合元素的個數(shù)，基本不等式在求函數(shù)最值時的應(yīng)用，其中正確理解函數(shù)f（x）=[x[x]]，所表示的意義是解答本題的關(guān)鍵．