Question

已知函數f（x）=alnx++1．
（Ⅰ）當a=-時，求f（x）在區(qū)間[，e]上的最值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）當-1＜a＜0時，有f（x）＞1+ln（-a）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=-時，，∴．
∵f（x）的定義域為（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．---------------------------（2分）
∴f（x）在區(qū)間[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，
而f（1）=，f（）=，f（e）=，
∴f（x）_max=f（e）=，f（x）_min=f（1）=．---------------------------（4分）
（Ⅱ），x∈（0，+∞）．
①當a+1≤0，即a≤-1時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞減；-------------（5分）
②當a≥0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增；----------------（6分）
③當-1＜a＜0時，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）
∴f（x）在（，+∞）單調遞增，在（0，）上單調遞減；--------------------（8分）
綜上，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當-1＜a＜0時，f（x）在（，+∞）單調遞增，在（0，）上單調遞減；當a≤-1時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減；-----------------------（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當-1＜a＜0時，f（x）_min=f（）
即原不等式等價于f（）＞1+ln（-a）--------------------------（10分）
即aln+-+1＞1+ln（-a）
整理得ln（a+1）＞-1
∴a＞-1，----------------------------（11分）
又∵-1＜a＜0，∴a的取值范圍為（-1，0）．---------------------------（12分）
分析：（Ⅰ）求導f（x）的定義域，求導函數，利用函數的最值在極值處與端點處取得，即可求得f（x）在區(qū)間[，e]上的最值；
（Ⅱ）求導函數，分類討論，利用導數的正負，可確定函數的單調性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當-1＜a＜0時，f（x）_min=f（），即原不等式等價于f（）＞1+ln（-a），由此可求a的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查恒成立問題，確定函數的單調性，求函數的最值是關鍵．