Question

已知F是拋物線y²=x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，

OA

•

OB

=2（其中O為坐標原點），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先設直線方程和點的坐標，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達定理及

OA

•

OB

=2消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題．

解答： 解：設直線AB的方程為：x=ty+m，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB與x軸的交點為M（m，0），
x=ty+m代入y²=x，可得y²-ty-m=0，根據(jù)韋達定理有y₁•y₂=-m，
∵

OA

•

OB

=2，∴x₁•x₂+y₁•y₂=2，從而（y₁•y₂）²+y₁•y₂-2=0，
∵點A，B位于x軸的兩側(cè)，
∴y₁•y₂=-2，故m=2．
不妨令點A在x軸上方，則y₁＞0，
又F（

1

4

，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=

1

2

×2×（y₁-y₂）+

1

2

×

1

4

y₁=

9

8

y₁+

2

y1

≥3
當且僅當

9

8

y₁=

2

y1

，即y₁=

4

3

時，取“=”號，
∴△ABO與△AFO面積之和的最小值是3，
故答案為：3．

點評：求解本題時，應考慮以下幾個要點：
1、聯(lián)立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式．
2、求三角形面積時，為使面積的表達式簡單，常根據(jù)圖形的特征選擇適當?shù)牡着c高．
3、利用基本不等式時，應注意“一正，二定，三相等”．