如圖，某自來水公司要在公路兩側(cè)鋪設(shè)水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l1，在路南側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l2，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l1與l2接通．已知AB=60m，BC=80m，公路兩側(cè)鋪設(shè)水管的費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分鋪設(shè)水管的費用為每米2萬元，設(shè)∠EFB=
π
2
-α，矩形區(qū)域內(nèi)的鋪設(shè)水管的總費用為W．

（1）求W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求W的最小值及相應的角α．
考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型
專題：應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用
分析：（1）過E作EM⊥BC，垂足為M，由題意可得∠MEF=α，則MF=60tanα，EF=
60
cosα
，AE+FC=80-60tanα，進而可得答案；
（2））W=80-
60sinα
cosα
+
120
cosα
=80-
60(sinα-2)
cosα
．令f(α)=
sinα-2
cosα
，利用導數(shù)可求得f(α)max=-
3
，由此可得答案；
解答： 解：（1）過E作EM⊥BC，垂足為M，由題意得∠MEF=α，
故有MF=60tanα，EF=
60
cosα
，AE+FC=80-60tanα，
∴W=(80-60tanα)×1+
60
cosα
×2
=80+
120
cosα
-60tanα．
（2）W=80-
60sinα
cosα
+
120
cosα
=80-
60(sinα-2)
cosα
．
設(shè)f(α)=
sinα-2
cosα
，則f′(α)=
cosαcosα-(-sinα)(sinα-2)
cos2α
=
1-2sinα
cos2α
．
令f'（α）=0，得1-2sinα=0，即sinα=
1
2
，得α=
π
6
．
列表
α (0，
π
6
)
π
6
 (
π
6
，α0)
f'（α） + 0 -
f（α） 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減
∴當α=
π
6
時有f(α)max=-
3
，
此時有Wmin=80+60
3
．
點評：本題以實際問題為背景，考查三角函數(shù)的最值求解，考查應用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活服務于生活．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖是一個算法流程圖，則輸出S的值是（　　）
A、31B、32C、63D、64

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（
1
3
）x，等比數(shù)列{an}的前n項和為f（n）-c，數(shù)列{bn}{bn＞0}的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{
1
bnbn+1
}前n項和為Tn，問使Tn＞
1005
2014
的最小正整數(shù)n是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

二次函數(shù)y=f（x）的圖象的一部分如圖所示
（1）根據(jù)圖象寫出f（x）在區(qū)間[-1，4]上的值域；
（2）根據(jù)圖象求y=f（x）的解析式；
（3）當k∈R時，試探討關(guān)于x的方程f（x）-k=0在（-1，4]上的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

漳州市園林局對百花村1000株樹木的生長情況進行調(diào)查，其中杉樹600株，槐樹400株．現(xiàn)用分層抽樣方法從這1000株樹木中隨機抽取100株，杉樹與槐樹的樹干周長（單位：cm）的抽查結(jié)果如表：
樹干周長（單位：cm） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70）
杉樹 6 19 21 x
槐樹 4 20 y 6
（Ⅰ）求x，y的值及估計槐樹樹干周長的眾數(shù)；
（Ⅱ）如果杉樹的樹干周長超過60cm就可以砍伐，請估計該片園林可以砍伐的杉樹有多少株？
（Ⅲ）樹干周長在30cm至40cm之間的6株杉樹中有1株患蟲害，現(xiàn)要從這6株杉株樹中任選兩株進行排查，以便找出患蟲害的樹木，求在選出的樹木中含有患蟲害的樹木的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a≥0，b≥0，c≥0，求證：
a2+ab+b2
+
b2+bc+c2
≥a+b+c．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（2sinx，sinx），
b
=（sinx，2
3
cosx），函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acosB=bcosC+ccosB，若對任意滿足條件的A，不等式f（A）+m＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)h(x)=ax2+3x+c(c＞3)，其中函數(shù)h′(x)的零點為
3
2
，f（x）=lnx-h（x）
（1）若函數(shù)f(x)在(
1
2
，m+
1
4
)上為單調(diào)函數(shù)，求m的范圍
（2）若函數(shù)y=2x-lnx，x∈[1，4]的圖象總在y=f（x）圖象上方，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

復數(shù)z=1+i，則
1
z
+
.
z
為
 
．

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