設(shè)P，A，B，C半徑為2的球面上四點(diǎn)，且滿足
PA
•
PB
=0，
PA
•
PC
=0，
PB
•
PC
=0，則S△PAB+S△PAC+S△PBC的最大值是
 
．
分析：根據(jù)題中的數(shù)量積為零可得PA、PB、PC兩兩互相垂直，從而以PA、PB、PC為長(zhǎng)、寬、高建立長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球．由球內(nèi)接長(zhǎng)方體的性質(zhì)與長(zhǎng)方體的對(duì)角線公式，算出PA2+PB2+PC2=16．
最后利用三角形面積公式與基本不等式加以計(jì)算，可得當(dāng)PA=PB=PC時(shí)，S△PAB+S△PAC+S△PBC有最大值為8．
解答：解：∵
PA
•
PB
=0，
PA
•
PC
=0，
PB
•
PC
=0，精英家教網(wǎng)
∴PA、PB、PC兩兩互相垂直，
如圖所示，以PA、PB、PC為長(zhǎng)、寬、高建立長(zhǎng)方體，可得長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，球的半徑R=2．
∴PA2+PB2+PC2=（2R）2=16．
∵S△PAB=
1
2
PA•PB≤
1
4
（PA2+PB2），S△PAC=
1
2
PA•PC≤
1
4
（PA2+PC2），
S△PBC=
1
2
PB•PC≤
1
4
（PB2+PC2），
∴S△PAB+S△PAC+S△PBC≤
1
4
[（PA2+PB2）+（PA2+PC2）+（PB2+PC2）]=
1
2
（PA2+PB2+PC2）=8．
當(dāng)且僅當(dāng)PA=PB=PC時(shí)，S△PAB+S△PAC+S△PBC有最大值等于8．
故答案為：8
點(diǎn)評(píng)：本題給出三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，已知它的外接球半徑為2的情況下求側(cè)面積的最大值．著重考查了向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、長(zhǎng)方體的性質(zhì)與對(duì)角線公式、球內(nèi)接多面體與基本不等式等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b-c為半徑作圓F2，過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且|PT|的最小值不小于
3
2
（a-c）．
（1）證明：橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F2的最短距離為a-c；
（2）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（3）設(shè)橢圓的短半軸長(zhǎng)為1，圓F2與x軸的右交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求直線l被圓F2截得的弦長(zhǎng)s的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且△ABC的外接圓半徑為R，
AB
•
AC
=9．sinB=cosAsinC．
（1）求△ABC的三邊的長(zhǎng)；
（2）設(shè)P是△ABC（含邊界）內(nèi)的一點(diǎn)，P到三邊AC、BC、AB的距離分別是x、y、z．
①寫出x、y、z．所滿足的等量關(guān)系；
②利用線性規(guī)劃相關(guān)知識(shí)求出x+y+z的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P、A、B、C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=4，PC=5，則球的半徑為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

設(shè)P、A、B、C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=4，PC=5，則球的半徑為 ________．

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