如圖,棱長為1的正四面體ABCD中,E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn),O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影.
(Ⅰ)求直線EF與直線BC所成角的大小;
(Ⅱ)求點(diǎn)O到平面ACD的距離;
(Ⅲ)求二面角A―BE―F的大小.
方法一:(Ⅰ)因?yàn)镋、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn),
所以EF∥AC.
所以∠BCA是EF與BC所成角.
∵正四面體ABCD,∴△ABC為正三角形,
所以∠BCA = 60°.即EF與BC所成角的大小是60°
(Ⅱ)解法1:
如圖,連結(jié)AO,AF,
因?yàn)镕是CD的中點(diǎn),且△ACD,△BCD均為正三角形,
所以BF⊥CD,AF⊥CD.
因?yàn)锽F∩AF = F,所以CD⊥面AFB.
因?yàn)镃D在ACD,所以面AFB⊥面ACD.
因?yàn)锳BCD是正四面體,且O是點(diǎn)A在面BCD內(nèi)的射影,
所以點(diǎn)O必在正三角形BCD的中線BF上,
在面ABF中,過O做OG⊥AF,垂足為G,
所以O(shè)G⊥在ACD.即OG的長為點(diǎn)O到面ACD的距離.
因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長為1,
在△ABF中,容易求出AF = BF=,OF=,AO = ,
因?yàn)椤鰽OF∽△OGF,故由相似比易求出OG =
所以點(diǎn)O到平面ACD的距離是
解法2:
如圖,連結(jié)AO,CO,DO,
所以點(diǎn)O到平面ACD的距離就是三棱錐O―ACD底面ACD上的高h.
與解法1同理容易求出OF=,AO = ,
所以VA―COD =
因?yàn)閂O―ACD = VA―COD,
所以= VO―ACD = 解得
(Ⅲ)
設(shè)△ABD中,AB邊的中線交BE于H,連結(jié)CH,則由ABCD為正四面體知CH⊥面ABD.
設(shè)HD的中點(diǎn)為K,則FK∥CH。
所以FK⊥面ABD.
在面ABD內(nèi),過點(diǎn)K作KN∥AD,KN交BE于M,交AB于N,
因?yàn)锽E⊥AD,所以NM⊥BE.
連結(jié)FM,所以FM⊥BE.所以∠NMF是所求二面角的平面角.
因?yàn)镕K = CH = ,MK = ED = AD = ,
所以
所以
所以所求二面角的大小為
(或者由正四面體的對稱性,可轉(zhuǎn)求二面角C―BF―E的大。
方法二:如圖,
以點(diǎn)A在面BCD的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn),有向直線OA為z軸,有向直線BF為y軸,x軸為過點(diǎn)O與DC平行的有向直線.
因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長為1,所以可以求出各點(diǎn)的坐標(biāo)依次為:
O(0,0,0),A(0,0,),B(0,,0)
C(),D(),
E(),F(xiàn)()
(Ⅰ)因?yàn)?sub>
又,
所以所以EF與BC所成角的大小是60°.
(Ⅱ)因?yàn)?sub>,
設(shè)平面ACD的一個法向量為,
由
因?yàn)?sub>,
所以點(diǎn)O到平面ACD的距離等于
(Ⅲ)因?yàn)?sub>,
設(shè)平面ABD的一個法向量為,
由,可得一個法向量
同理可以求出平面BEF的一個法向量為
因?yàn)?sub>
所以
所以二面角A―BE―F的大小為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江蘇省高三下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本小題滿分10分)
如圖,在底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱中,P是側(cè)棱上的一點(diǎn),. (1)試確定m,使直線AP與平面BDD1B1所成角為60º;(2)在線段上是否存在一個定點(diǎn),使得對任意的m,⊥AP,并證明你的結(jié)論.
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