如圖,傾斜角為α的直線經(jīng)過拋物線y2=8x的焦點F,且與拋物線交于A、B兩點.
(1)求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程;
(2)若α為銳角,作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P,證明|FP|-|FP|cos2α為定值,并求此定值.

(1)解:設拋物線C:y2=2px(p>0),則2p=8,從而p=4
因此焦點F(2,0),準線方程為x=-2;
(2)證明:作AC⊥l,BD⊥l,垂足為C,D.

則由拋物線的定義,可得|FA|=|FC|,|FB|=|BD|
設A(x1,y1),B(x2,y2),則|FA|=|AC|=|FA|cosα+4,∴
同理
記直線m與AB的交點為E,則|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-==
∴|FP|==
∴|FP|-|FP|cos2α=(1-cos2α)=8.
分析:(1)根據(jù)拋物線的標準方程,可求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程;
(2)作AC⊥l,BD⊥l,垂足為C,D,求出|FA|,|FB|,即可得到結(jié)論.
點評:本題考查拋物線的幾何性質(zhì),考查拋物線的定義,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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  3. C.
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