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 (12分) 設橢圓E：（a > b > 0）過M（2，），N（，1）兩點，O為坐標原點，

(1) 求橢圓E的方程；

(2) 是否存在圓心在原點的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且?若存在，寫出該圓的方程，并求取值范圍；若不存在，說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解法一：(1) 橢圓E過M、N

∴    ∴    ∴ 橢圓E： 5分

        (2) 假設存在這樣的圓，設該圓的切線為，由  

∴

當

，要使

∴    ∴

∴    ∴

又    ∴   ∴   ∴

又與圓心在原點的圓相切

∴ ，即，

∴ 所求圓：

當切線斜率不存在時，切線為，與橢圓交于（，）

或（，），滿足

綜上：存在這樣的圓滿足條件    9分

∵

當時，

∴ （當時取等）

當k = 0時，

當k不存時，

∴    12分

解法二：設A（x1，y1），證明的直線方程為y = kx（k存在）

由   ∴

同理可以算出：

時，

∴

 

  解法三：過O作AB的垂線OT，垂足為T

顯然T在以O為圓心，為半徑的圓上

∴ 所求圓的方程為

 

當時，

∴

 

練習冊系列答案
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（本小題滿分12分）設橢圓的兩個焦點是

   （1）設E是直線與橢圓的一個公共點，求使得取最小值時橢圓的方程；   （2）已知設斜率為的直線與條件（1）下的橢圓交于不同的兩點A，B，點Q滿足，且，求直線在軸上截距的取值范圍。

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（本題滿分12分）

設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交A,B且

？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由。

 

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（本小題滿分12分）

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(1)求橢圓E的方程；

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（（本小題滿分12分）設橢圓的焦點分別為，

    直線交軸于于點A，且。

   （1）試求橢圓的方程；

   （2）過、分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別

        交于D、E、M、N四點（如圖所示），若四邊形

         DMEN的面積為，求DE的直線方程。

 

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