Question

如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE的延長線交BC于F．
（Ⅰ）求

BF

FC

的值；
（Ⅱ）若△BEF的面積為S₁，四邊形CDEF的面積為S₂，求S₁：S₂的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過D點作DG∥BC，并交AF于G點，則易根據(jù)E是BD的中點，可得，△BEF≌△DEG，由全等三角形的性質(zhì)可將BF：FC轉(zhuǎn)化為DG：FC，再由平行線分線段成比例定理即可得到答案．
（II）△BEF以BF為底，△BDC以BC為底，由（I）的結(jié)論，我們可以求出兩個三角形的底邊長之比，及高之比，進而求出△BEF的面積S₁，四邊形CDEF的面積S₂的比值．

解答：解：（Ⅰ）過D點作DG∥BC，并交AF于G點，∵E是BD的中點，∴BE=DE，
又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，∴△BEF≌△DEG，則BF=DG，∴BF：FC=DG：FC，
又∵D是AC的中點，則DG：FC=1：2，則BF：FC=1：2；即

BF

FC

=

1

2

（5分）
（Ⅱ）若△BEF以BF為底，△BDC以BC為底，則由（1）知BF：BC=1：3，
又由BE：BD=1：2可知h₁：h₂=1：2，其中h₁、h₂分別為△BEF和△BDC的高，
則

S△BEF

S△BDC

=

1

3

×

1

2

=

1

6

，則S₁：S₂=1：5．（10分）

點評：本題考查的知識點是平行線分線段成比例定理，在處理本題時，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線DG是解答本題的關(guān)鍵．