Question

已知函數f（x）=，g（x）=2alnx（e為自然對數的底數，a＞0）
（1）求F（x）=f（x）-g（x）的單調區(qū)間，若F（x）有最值，請求出最值；
（2）當a=1時，求f（x）與g（x）圖象的一個公共點坐標，并求它們在該公共點處的切線方程．

Answer 1

【答案】分析：首先對于（1）求F（x）=f（x）-g（x）的單調區(qū)間，及函數F（x）的最值，考慮到先列出函數的表達式，再根據表達式求出導函數F′（x），根據導函數在區(qū)間的正負性判斷函數的單調區(qū)間，再使導函數等于0求出函數的極值，即可得到答案．
對于（2）當a=1時，求f（x）與g（x）的一個公共點，并求它們在該公共點處的切線方程，故根據（1）可判斷方程F（x）=f（x）-g（x）有最小值0，故此點即為f（x）與g（x）的一個公共點．再根據導函數求出公共點處切線．即可根據直線方程的求法求出切線方程．
解答：解：（1）因為F（x）=f（x）-g（x）=-2alnx
所以=
若，則F'（x）＜0，F（x）在上單調遞減；
若，則F'（x）＞0，F（x）在上單調遞增．
∴當x=時，F（x）有極小值，也是最小值，
即，
∴當a＞0時，F（x）的單調遞減區(qū)間為，
故函數F（x）的單調遞增區(qū)間為（，+∞），最小值為-alna無最大值．

（2）當a=1時，由（1）可知F（x）_min=F（）=0
，得
∴是f（x）與g（x）圖象的一個公共點．
又∵，
∴f（x）與g（x）的圖象在點（，1）處有共同的切線，
其方程為，
故．
點評：此題主要考查利用導函數求閉區(qū)間最值的問題，其中涉及到直線方程的求法問題，屬于函數方面的綜合性問題，對學生基礎知識的綜合能力要求較高，屬于中檔題目．