已知函數(shù)F(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)且F′(-1)=0.

(1)若F(x)在x=1取得極小值-2，求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)令f(x)=F′(x),若f′(x)＞0的解集為A，且A∪(0,1)=(0,+∞)，求的范圍.

解:(1)∵F′(x)=ax2+2bx+c，且F′(-1)=0，∴a-2b+c=0.①

又由在x=1處取得極小值－2可知F′(1)=a+2b+c=0②

且F(1)=a+b+c=-2.③

將①②③式聯(lián)立得a=3,b=0,c=-3,

∴F(x)=x3-3x,F′(x)=3x2-3.

由F′(x)=3x2-3≥0得x≤-1,或x≥1.同理由F′(x)?=3x2-3≤0得-1≤x≤1.

∴F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是［-1,1］,單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,1］和［1,+∞).

(2)由上問知f(x)=F′(x)=ax2+2bx+c,∴f′(x)=2ax+2b,

又∵F′(-1)=0,∴a-2b+c=0.∴2b=a+c.∴f′(x)=2ax+a+c.

∵f′(x)＞0，∴2ax+a+c＞0.∴2ax＞-a-c.

∴當(dāng)a＜0時，f′(x)＞0的解集是(-∞,)，顯然A∪(0,1)=(0,+∞)不成立，不滿足題意.

∴a＞0，且f′(x)＞0的解集是(,+∞).10分

又由A∪(0,1)=(0,+∞)知0≤＜1.

解得-3＜≤-1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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