Question

（2007•崇明縣一模）已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f(x)=ax+

1

x2

．
（1）求函數(shù)y=f（x）在（0，1]上的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)a＞-2時(shí)，判斷函數(shù)y=f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并給出說明．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），由x∈[-1，0）時(shí)，f(x)=ax+

1

x2

．及函數(shù)為偶函數(shù)可求；
（2）任取x₁，x₂∈（0，1]，x₁＜x₂，通過檢驗(yàn)f（x₁）與f（x₂）的大小可判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）任取x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），f（-x）=-f（x）（3分）
則f(x)=-f(-x)=ax-

1

x2

．                                   （6分）
（2）函數(shù)f（x）在（0，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)．
證明：任取x₁，x₂∈（0，1]，x₁＜x₂
f(x2)-f(x1)=ax2-

1

x 2 2

-ax1+

1

x 2 2

（2分）
=(x2-x1)(a+

1

x1 x 2 2

+

1

x 2 1 x2

)（4分）
由于由于x₁，x₂∈（0，1]，x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，（5分）

1

x1 x 2 2

＞1，

1

x2 x 2 1

＞1，當(dāng)a＞-2時(shí)，a+

1

x1 x 2 2

+

1

x 2 1 x2

＞0（7分）
所以所以f（x₂）＞f（x₁），即函數(shù)f（x）在（0，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)．     （8分）
（只有結(jié)論，沒有過程給2分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x）求解函數(shù)的解析式，函數(shù)單調(diào)性的證明（判斷）其一般步驟：設(shè)量，作差，變形，定號，結(jié)論．