【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形,四邊形
是梯形,
∥
,
,平面
平面
,且
.
(Ⅰ)求證:∥平面
;
(Ⅱ)求二面角的大;
(Ⅲ)已知點在棱
上,且異面直線
與
所成角的余弦值為
,求線段
的長.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)
.
【解析】
先利用線面垂直的性質(zhì)證明直線平面
,以點
為原點,分別以
的方向為
軸,
軸,
軸的正向建立空間直角坐標系,(1)可得
是平面
的一個法向量,求得
,利用
,且直線
平面
可得結(jié)果;(2)利用向量垂直數(shù)量積為0,列方程組分別求出平面
與平面
的法向量,由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果;(3)設(shè)
,則
,
,
由,可得
, 解方程可得結(jié)果.
(1)平面
平面
,
平面平面
,
,
,
直線
平面
.
由題意,以點為原點,分別以
的方向為
軸,
軸,
軸的正向建立如圖空間直角坐標系,
則可得:,
.
依題意,易證:是平面
的一個法向量,
又,
,
又直線
平面
,
.
(2)
.
設(shè)為平面
的法向量,
則,即
.
不妨設(shè),可得
.
設(shè)為平面
的法向量,
又
,
則,即
.
不妨設(shè),可得
,
,
又二面角為鈍二面角,
二面角
的大小為
.
(3)設(shè),則
,又
,
又,即
,
,解得
或
(舍去).
故所求線段的長為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足a3=5,a4﹣2a2=3,又等比數(shù)列{bn}中,b1=3且公比q=3.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)若cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),當
時,
取得極小值
.
(1)求的值;
(2)記,設(shè)
是方程
的實數(shù)根,若對于
定義域中任意的
,
.當
且
時,問是否存在一個最小的正整數(shù)
,使得
恒成立,若存在請求出
的值;若不存在請說明理由.
(3)設(shè)直線,曲線
.若直線
與曲線
同時滿足下列條件:
①直線與曲線
相切且至少有兩個切點;
②對任意都有
.則稱直線
與曲線
的“上夾線”.
試證明:直線是曲線
的“上夾線”.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列對任意
滿足
,下面給出關(guān)于數(shù)列
的四個命題:①
可以是等差數(shù)列,②
可以是等比數(shù)列;③
可以既是等差又是等比數(shù)列;④
可以既不是等差又不是等比數(shù)列;則上述命題中,正確的個數(shù)為( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖l,在邊長為2的菱形中,
,
于點
,將
沿
折起到
的位置,使
,如圖2.
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在線段上是否存在點
,使平面
平面
?若存在,求
的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點
,且短軸長為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點作
軸的垂線
,設(shè)點
為第四象限內(nèi)一點且在橢圓
上(點
不在直線
上),點
關(guān)于
的對稱點為
,直線
與橢圓
交于另一點
.設(shè)
為坐標原點,判斷直線
與直線
的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖像過點
,且對任意的
都有不等式
成立.若函數(shù)
有三個不同的零點,則實數(shù)
的取值范圍是__________________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖, 是邊長為3的正方形,
平面
,
,
,BE與平面
所成角為
.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點M在線段BD上,且平面BEF,求
的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓,直線
,動圓P與圓M相外切,且與直線l相切.設(shè)動圓圓心P的軌跡為E.
(1)求E的方程;
(2)若點A,B是E上的兩個動點,O為坐標原點,且,求證:直線AB恒過定點.
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