Question

已知函數(shù)

(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；

(2)求證函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)；

(3)設(shè)，，且，求證：．

 

Answer 1

(1) ； (2)詳見(jiàn)解析； (3)詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：(1) 先求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即為在此點(diǎn)處切線的斜率。從而可得的值。 (2) 先求導(dǎo)，證導(dǎo)數(shù)在 大于等于0恒成立。(3) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719240228824933/SYS201411171924230546777774_DA/SYS201411171924230546777774_DA.005.png">，不妨設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719240228824933/SYS201411171924230546777774_DA/SYS201411171924230546777774_DA.007.png">在上單調(diào)遞增，所以，所以可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，可整理變形為，設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719240228824933/SYS201411171924230546777774_DA/SYS201411171924230546777774_DA.012.png">且，只需證在上單調(diào)遞增即可。

試題解析：(1) = ()，()，

因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線平行，

，解得。

(2) =()

所以函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)；

(3)不妨設(shè)，則．

要證．

只需證, 即證．

只需證．設(shè)．

由(2)知在上是單調(diào)增函數(shù)，又，

所以．即 ，即．

所以不等式成立.

考點(diǎn)：1導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)；3轉(zhuǎn)化思想。