Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n＞0，且對(duì)一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：++…＞（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵數(shù)列{an}滿足：a_n＞0，且對(duì)一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，…①
所以a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=S_n+1²，…②
①-②得a_n+1³=S_n+1²-S_n²=a_n+1（S_n+1+S_n），
則a_n+1²=S_n+1+S_n=a_n+1+2S_n，
所以a_n+1²-a_n+1=2S_n，
又a_n+1²-a_n+1=2S_n=2S_n+1-2a_n+1，
所以a_n+1²+a_n+1=2S_n+1…③
則a_n²+a_n=2S_n…④
③-④得2a_n+1=（a_n+1²-a_n²）+（a_n+1-a_n），
從而a_n+1-a_n=1．
又由已知易得a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)為a₁=1，公差為1的等差數(shù)列
所以a_n=n．
（Ⅱ）證明：∵a_n=n，∴，
令f（x）=lnx-x+1，x＞1
∵f'（x）=-1=，
∴f（x）單調(diào)遞減，
那么f（x）＜f（1）=0，即lnx＜x-1
∴當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，0＜lnn＜n-1，
∴，
∵當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)，，
∴兩式相乘有，…（9分）
∴
=
＞，
=1+-
=
=（n≥2，n∈N^*）．…（12分）
分析：（Ⅰ）由數(shù)列{an}滿足：a_n＞0，且對(duì)一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，知a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=S_n+1²，所以a_n+1³=S_n+1²-S_n²=a_n+1（S_n+1+S_n），a_n+1²-a_n+1=2S_n，由a_n+1²+a_n+1=2S_n+1，知a_n²+a_n=2S_n．所以2a_n+1=（a_n+1²-q_n²）+（a_n+1-a_n），由此能求出a_n=n．
（Ⅱ）由a_n=n，知，由當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，0＜lnn＜n-1，知，由當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)，，知，由上此能夠證明＞．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．