Question

已知離心率為的橢圓的頂點恰好是雙曲線的左右焦點，點是橢圓上不同于的任意一點，設直線的斜率分別為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當，在焦點在軸上的橢圓上求一點Q，使該點到直線的距離最大。

（3）試判斷乘積“”的值是否與點的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；

 

Answer 1

(1)或；(2) （；(3) 的值與點的位置無關(guān)

【解析】

試題分析：（1）注意要分類討論，頂點是短軸頂點，還是長軸頂點；(2)橢圓上到距離最大的點是與直線平行且與橢圓相切的點；（3）利用點P在橢圓上滿足橢圓方程，設點P坐標，帶入橢圓方程，通過變形，即可知=，與k無關(guān).

試題解析：（1）雙曲線的左右焦點為,即的坐標分別為. 所以設橢圓的標準方程為,則,

且,所以,從而,

所以橢圓的標準方程為或

(2) 當時，，故直線的方程為即，

設與平行的直線方程為：x+2y+m=0，即x=-2y-m，代入橢圓方程得：，

，∵求距離最大，∴，代入方程，解得：，∴點Q（；

（3）設則，即

.所以的值與點的位置無關(guān)，恒為.

考點：（1）橢圓雙曲線的標準方程；（2）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.