Question

對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）=-f（x+1），當(dāng)x∈（-1，0]時(shí)，f（x）=x²+2x，當(dāng)x∈[8，10]時(shí)，求f（x）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的周期性求出各個(gè)區(qū)間上的函數(shù)表達(dá)式，從而求出答案．

解答： 解：∵f（x）=-f（x+1）=f（x+2）
∴f（x）是周期為2的函數(shù)．
當(dāng) x∈（0，1]時(shí)，x-1∈（-1，0]
則 根據(jù)題意 f（x-1）=-f（x）=（x-1）²+2（x-1）=x²-1
于是 f（x）=1-x²（0＜x≤1）
∴當(dāng)9＜x≤10時(shí)，-1＜x-10≤0，
f（x）=f（x-10）=（x-10）²+2（x-10）=x²-18x+80，
當(dāng)8＜x≤9時(shí)，0＜x-8≤1，
∴f（x）=f（x-8）=1-（x-8）²=-x²+16x-63，
x=8時(shí)，f（8）=f（0）=0，
∴f（x）=

0，(x=8) -x2+16x-63，(8＜x≤9] x2-18x+80，(9＜x≤10]

．
要注意每次擴(kuò)展的區(qū)間都是一個(gè)左開右閉的區(qū)間作為擴(kuò)展單位的，因此最后 x=8一定不可能被擴(kuò)展到（8，9]這個(gè)區(qū)間里，所以需要單獨(dú)計(jì)算它的值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的周期性，求函數(shù)的表達(dá)式，要注意每次擴(kuò)展的區(qū)間都是一個(gè)左開右閉的區(qū)間作為擴(kuò)展單位的，因此最后 x=8一定不可能被擴(kuò)展到（8，9]這個(gè)區(qū)間里，所以需要單獨(dú)計(jì)算它的值．