Question

已知直線l⊥平面α，O為垂足，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=5，AB=6，AA₁=8，A∈l，B₁∈α，則OC₁的最大值為________．

Answer 1

5+5
分析：按題意：直線AO垂直于直線B₁O，三角形為AOB₁為直角三角形，O點在以|AB₁|為直徑的球面上；設(shè)球面中心點為P，則點P位于線段|AB₁|的中點；此時答案變?yōu)榍笄蛲庖稽c至球面上一點的距離；按題意：存在直角三角形C₁B₁P，線段|C₁P|為斜邊（點C₁至球心P的距離）；此時：存在任意三角形C₁PO，其中線段|C₁P|為C₁點至球心P的距離、線段|PO|為球面半徑，線段|C₁O|的長度是我們要的答案．
解答：∵直線AO（即l）垂直于α，直線B₁O?α，
∴三角形AOB₁為直角三角形，
∴O點在以|AB₁|為直徑的球面上；設(shè)球面中心點為P，則點P位于線段|AB₁|的中點；
又長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，|AD|=5，|AB|=6，|AA₁|=8，
∴|AB₁|=10，，
此時所求變?yōu)榍笄蛲庖稽c至球面上一點的距離；顯然當C₁，P，O三點共線時|C₁O|最大，
∵在直角三角形C₁B₁P，線段|C₁P|為斜邊（點C₁至球心P的距離），
∴，
∴|C₁O|_max=|C₁P|+|OP|=．
故答案為：．
點評：本題考查函數(shù)的值域，難點在于轉(zhuǎn)化為球外一點至球面上一點的距離，顯然最大時必過球心，是難題．