Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x2+1

，g（x）=

ex

x

，如果對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），不等式

f(x1)

k

≤

g(x2)

k+1

恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：利用均值定理求出f（x）_max=

1

2

．利用導數(shù)性質(zhì)求出g（x）_min=g（1）=e．由不等式

f(x1)

k

≤

g(x2)

k+1

恒成立，且k＞0，得到

1 2

k

≤

e

k+1

，由此能求出正數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：x＞0時，∵f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2

，∴f（x）_max=

1

2

．
∵g（x）=

ex

x

，∴g′(x)=

ex(x-1)

x2

，
令g′（x）=0，得x=1．
當x∈（0，1），g（x）′＜0；當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0．
∴g（x）_min=g（1）=e．
∴對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），g（x）_min＞f（x）_max．
∵不等式

f(x1)

k

≤

g(x2)

k+1

恒成立，且k＞0，
∴

1 2

k

≤

e

k+1

，解得k≥

1

2e-1

．
∴正數(shù)k的取值范圍是[

1

2e-1

，+∞）．
故答案為：[

1

2e-1

，+∞）．

點評：本題主要考查了利用基本不等式求解函數(shù)的最值，導數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性，最值求解中的應用是解答本題的另一重要方法，函數(shù)的恒成立問題的轉(zhuǎn)化，本題具有一定的難度．