Question

設(shè)函數(shù)f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ，0≤θ≤，其中n為正整數(shù)。
（1）判斷函數(shù)f₁（θ）、f₃（θ）的單調(diào)性，并就f₁（θ）的情形證明你的結(jié)論；
（2）證明：2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）；
（3）對于任意給定的正奇數(shù)n，求函數(shù)f_n（θ）的最大值和最小值。

Answer 1

解：（1）在上均為單調(diào)遞增的函數(shù)，
對于函數(shù)，設(shè)，，
則，
∵，
∴
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）∵原式左邊= 　　
　　
，
又原式右邊=，
∴；
（3）當(dāng)n=1時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，　　　　　　　
∴的最大值為，最小值為，
當(dāng)n=3時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞增，　
∴的最大值為，最小值為，
下面討論正奇數(shù)n≥5的情形：對任意且，

以及，　　　　　　　
∴，
從而，
∴在上為單調(diào)遞增，　　　　　　　
則的最大值為，最小值為，
綜上所述，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值為0，最小值為-1。