Question

已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線相交于點(diǎn),且它們的斜率之積是

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn).試判斷點(diǎn)到直線的距離是否為定值.若是請求出這個(gè)定值，若不是請說明理由.

Answer 1

（1） ；（2）O到直線AB的距離為定值.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意直接法求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）根據(jù)題意對直線按斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)斜率不存在時(shí)，為等腰直角三角形，很易得到點(diǎn)到直線的距離；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立橢圓方程消去，根據(jù)韋達(dá)定理得到和代入即：得到和的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式，得到點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而得到兩種情況下，點(diǎn)到直線的距離為定值.

試題解析：（1）【解析】
，由題可得

所以點(diǎn)M的軌跡方程為

（2）點(diǎn)O到直線AB的距離為定值 ，設(shè),

① 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則為等腰直角三角形，不妨設(shè)直線OA：

將代入，解得

所以點(diǎn)O到直線AB的距離為；

② 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為與

聯(lián)立消去得

，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062106063741694195/SYS201506210606458704474642_DA/SYS201506210606458704474642_DA.032.png">，所以，

即

所以，整理得，

所以點(diǎn)O到直線AB的距離

綜上可知點(diǎn)O到直線AB的距離為定值

考點(diǎn)：1.直接法求動點(diǎn)的軌跡方程；2.韋達(dá)定理.