Question

已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為3，直線y＝2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.

(1)求a，b；

(2)設(shè)過(guò)F₂的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AF₁|＝|BF₁|，證明：|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等比數(shù)列．

Answer 1

 (1)解析：由題設(shè)知＝3，即＝9，故b²＝8a².

所以C的方程為8x²－y²＝8a².

將y＝2代入上式，求得x＝±.

由題設(shè)知，2＝，解得a²＝1.

所以a＝1，b＝2.

(2)證明：由(1)知，F₁(－3,0)，F₂(3,0)，C的方程為8x²－y²＝8.①

由題意可設(shè)l的方程為y＝k(x－3)，|k|＜2 ，代入①并化簡(jiǎn)得

(k²－8)x²－6k²x＋9k²＋8＝0.

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則

x₁≤－1，x₂≥1，

由|AF₁|＝|BF₁|得－(3x₁＋1)＝3x₂＋1，即x₁＋x₂＝－.

故＝－，解得k²＝，從而x₁x₂＝－.

由于|AF₂|＝＝1－3x₁，

|BF₂|＝＝＝3x₂－1，

故|AB|＝|AF₂|－|BF₂|＝2－3(x₁＋x₂)＝4，

|AF₂|·|BF₂|＝3(x₁＋x₂)－9x₁x₂－1＝16.

因而|AF₂|·|BF₂|＝|AB|²，

所以|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等比數(shù)列．