Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q分別是AB，B₁C₁上的點AP=B₁Q，N是PQ的中點，M是正方形ABB₁A₁的中心．求證：
（1）MN∥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）MN∥A₁C₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）要證MN∥平面A₁B₁C₁D₁，只需證明MN平行于該平面內的一條直線即可，連結PM并延長交A₁B₁于G，連結GQ后可得MN平行于GQ，由線面平行的判定即得結論；
（2）由三角形全等可得AP=GB₁，則GB₁=B₁Q，由平行線截線段成比例定理可得GQ∥A₁C₁，再由平行公理即得結論．

解答： 證明：（1）如圖，
連結PM并延長交A₁B₁于G，連結GQ，
因為N是PQ的中點，M是正方形ABB₁A₁的中心，
所以MN∥GQ，
又因為GQ?面A₁B₁C₁D₁，MN?面A₁B₁C₁D₁，
所以MN∥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）因為M是正方形ABB₁A₁的中心，
所以△PBM≌△A₁GM，所以AP=GB₁，
又AP=B₁Q，GB₁=B₁Q，所以GQ∥A₁C₁，
又MN∥GQ，所以MN∥A₁C₁．

點評：本題考查直線與平面平行的判定、直線與平面平行的性質以及學生的空間想象能力和思維能力，創(chuàng)設判定定理成立的條件是解答本題的關鍵，屬中檔題．