【題目】已知拋物線上一點到其焦點的距離為，以為圓心且與拋物線準線相切的圓恰好過原點.點是與軸的交點， 兩點在拋物線上且直線過點，過點及的直線交拋物線于點.

（1）求拋物線的方程；

（2）求證：直線過一定點，并求出該點坐標.

【答案】(1) ；(2)直線過定點，證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得，則為等腰三角形.過作軸于，則，據(jù)此可得拋物線的方程為.

(2)設的方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得.結合韋達定理有.直線的方程為.可得，則直線過定點.

試題解析：

（1）∵上一點到其焦點的距離為，∴，

∵以為圓心且與拋物線準線相切的圓恰好過原點，∴，即為等腰三角形.

過作軸于，則，∴得，

∴拋物線的方程為.

（2）證明：設的方程為，代入拋物線的方程，可得.

設， ， ，則，

由，

直線的方程為，∴，

可得，∴，

∴.①

直線的方程為.

可得，②

由①②可得， ，∴直線過定點.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】如圖，在長方體中， 分別為的中點， 是上一個動點，且.

（1）當時，求證：平面平面；

（2）是否存在，使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，以為概率的事件是(　　)

A. 恰有1件一等品 B. 至少有一件一等品

C. 至多有一件一等品 D. 都不是一等品

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【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

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（2）若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖，長方體中，，，點E是線段AB中點．

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【題目】某學校舉行了一次安全教育知識競賽，競賽的原始成績采用百分制，已知高三學生的原始成績均分布在內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制，各等級劃分標準見表.

原始成績

85分及以上

70分到84分

60分到69分

60分以下

等級

優(yōu)秀

良好

及格

不及格

為了解該校高三年級學生安全教育學習情況，從中抽取了名學生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計，按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示，其中等級為不及格的有5人，優(yōu)秀的有3人.

（1）求和頻率分布直方圖中的的值；

（2）根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，若該校高三學生共1000人，求競賽等級在良好及良好以上的人數(shù)；

（3）在選取的樣本中，從原始成績在80分以上的學生中隨機抽取2名學生進行學習經(jīng)驗介紹，求抽取的2名學生中優(yōu)秀等級的學生恰好有1人的概率.

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【題目】已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且過點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若的頂點、在橢圓上， 所在的直線斜率為， 所在的直線斜率為，若，求的最大值．

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【題目】已知函數(shù).

（1）設，試討論單調(diào)性；

（2）設，當時，任意，存在，使，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】為了讓學生了解環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”，共有900名學生參加了這次競賽.為了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計.請你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖，解答下列問題：

分組

頻數(shù)

頻率

50.5~60.5

4

0.08

60.5~70.5

0.16

70.5~80.5

10

80.5~90.5

16

0.32

90.5~100.5

合計

50

（Ⅰ）填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi))；

（Ⅱ）補全頻數(shù)條形圖；

（Ⅲ）若成績在75.5~85.5分的學生為二等獎，問獲得二等獎的學生約為多少人？

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